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・言葉→数式→情報→数式→情報……
・証明問題は「どうなっていてほしいか」の真骨頂
例題
x＋y＋z=1, xy＋yz＋zx=xyzのとき、少なくとも１つは１に等しいことを証明せよ。
この問題で示したいのは「x,y,zのうち少なくとも１つは１に等しい」ということだ。
数学なのだから日本語のままでは証明できない。これを示すためにはどうなっていてほしいのか。
答えは「(x－1)(y－1)(z－1)=0」である。
2つの条件式をいじって最終的にこの形になれば証明は完了なのだが、正面から立ち向かうとなかなかゴールにたどり着かない。
そこで、ゴールから逆走するのだ。
(x－1)(y－1)(z－1)=0
(xy－x－y＋1)(z－1)=0
xyz－zx－yz＋z－xy＋x＋y－1=0
xyz=xy＋yz＋zx－(x＋y＋z)＋1
xyz=xy＋yz＋zx(∵x＋y＋z=1)
あとは解答用紙にこれを逆に書いていけばいい。
同じやり方で次の問題が解けるはずだ。
例題2
1/a＋1/b＋1/c=1/(a＋b＋c)ならば、a,b,cのうち少なくともどれか2つの和は0であることを示せ。
まず目標を数式に直し、ゴールから逆走する。
この方法は常に念頭に置いておくこと。ただし数学的帰納法による証明は別。
証明問題でなくても、「どうなっていてほしいか」が重要。
最大値や最小値を求める問題なら二次関数の平方完成が目標になるだろう、など。
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